斜方投射運動(4)

（１）鉛直方向の位置の公式\(y=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\theta\)で地面に到達するときは\(y=0\)となるので \[\large{\begin{align} 0 &=-\dfrac{1}{2}gt_1^2+v_0t_1\sin\theta \\ &= t_1\left(-\dfrac{1}{2}gt_1+v_0\sin\theta\right) \\ \therefore & t_1=0,\frac{2v_0\sin\theta}{g}\end{align}}\] ここで、\(t_1=0\)は投げた時刻なので、地面に到達した時刻は\(\large{\underline{t_1=\frac{2v_0\sin\theta}{g}}}\)。
（２）距離\(\ell \)は水平方向の位置であるから、こちらは等速直線運動であるので速度\(v_x=v_0\cos\theta\)で\(t_1=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\)だけ動くことになります。よって \[\large{\ell = v_0\cos\theta\frac{2v_0\sin\theta}{g}=\underline{\frac{2v_0^2\cos\theta\sin\theta}{g}}}\] （３）\(\sin\)の加法定理 \[\large{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\] より\(\alpha=\beta\)とすれば \[\large{\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}\] となるので（２倍角の公式）、\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)を利用すると \[\large{\ell = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}}\] \(\sin\theta\)が最大となるのは\(\theta=90°\)のとき。したがって\(\sin 2\theta\)が最大となるのは\(\large{\underline{\theta=45°}}\)。