鉛直投げ上げ運動(2)

（１）\(v=v_0-gt\)、最高点では\(v=0\)となることから \[\large{\begin{align} 0&= v_0-gt \\ \therefore & t=\underline{\frac{v_0}{g}}\end{align}}\] （２）\(h=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\)の\(t\)に（１）の結果を代入します。 \[\large{\begin{align} h &=v_0\cdot\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g\cdot\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 \\ &= \frac{v_0^2}{g}-\frac{v_0^2}{2g} \\ &= \underline{\frac{v_0^2}{2g}}\end{align}}\]

\(y=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\)より\(y=0\)を代入すると \[\large{\begin{align} 0 &= v_0t-\frac{1}{2}gt^2 \\ t & (v_0-\frac{1}{2}gt) = 0 \\ \therefore & t=0,\frac{2v_0}{g}\end{align}}\] ここで、\(t=0\)は投げ上げたときの時間を示します。よって、投げ上げてから戻ってくるまでの時間は\(\large{\underline{\dfrac{2v_0}{g}}}\)。
この結果は、問１（１）を２倍したものとなっていますが偶然ではありません。
位置に関する公式\(y=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2\)を\(t\)に関する２次方程式と考えれば、２次方程式は軸に関して対称なので投げ上げてから最高点まで到達する時間と、最高点から投げ上げた地点まで戻ってくる時間は等しくなります。このことを運動の対称性と呼んでいます。