力学的エネルギー保存の法則(4)

なめらかな水平面上で一端を壁に、もう一端に物体を取り付けて水平方向に振動している場合には力学的エネルギー保存の法則がどうなるか考えてみます。

物体には、重力と垂直抗力の他にばねの弾性力がはたらいています。重力と垂直抗力は運動の向きと垂直のため、物体には仕事をしません。上図のように、物体が地点Aから地点Bまで動くとき、ばねの弾性力が正の仕事をするので、自然の長さからの伸びが小さくなり、位置エネルギーは減少しますが、その分運動エネルギーは増加するので、結局力学的エネルギー保存の法則が成り立ちます。逆もまたしかりで、地点Bから地点Aに動くときにも力学的エネルギー保存の法則が成り立ちます。

物体の質量を\(m\)[kg]、ばね定数を\(k\)[N/m]とし、地点AおよびBにおける物体の速さを\(v_A,v_B\)とします。また、地点AとBにおける自然の長さからのばねの伸びをそれぞれ\(x_A,x_B\)とすると、運動エネルギーと仕事の関係式から以下の式が成り立ちます。

\[\large{\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2}\]

変形すると力学的エネルギー保存の法則を表す式が得られます。

\[\large{\frac{1}{2}mv_A+\frac{1}{2}kx_A^2=\frac{1}{2}mx_B^2+\frac{1}{2}kx_B^2}\]