運動エネルギー(2)

前記事では物体が停止するまでの運動エネルギーを考えましたが、物体が仕事をされて速さが変化したときの運動エネルギーを考えてみます。運動している物体もいろいろな条件により速さが変化しますので、そこを考えてみようというわけです。

今、右向きに一定の力\(F\)により仕事\(W\)を与えられて速さ\(v_0\)になった質量\(m\)の物体が、ある時間経過後に距離\(x\)だけ運動し速さが\(v\)になったときの運動エネルギーを求めます。

物体がされた仕事は

\[\large{W=Fx}\]

物体の運動方程式は右向きを正として

\[\large{ma=F}\]

また、等加速度直線運動の式より、物体の速さが\(v_0\)から\(v_1\)に変化したので

\[\large{v_1^2-v_0^2=2ax}\]

\(ma=F\)より\(a=\dfrac{F}{m}\)。これを\(v_1^2-v_0^2=2ax\)に代入、

\[\large{\qquad v_1^2-v_0^2=2\dfrac{F}{m}x \\ \qquad \frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2 =Fx}\]

この\(Fx\)は仕事そのものですから結局、

\[\large{\qquad \frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2 =W}\]

と表すことが出来ます。